Answers to unstarred problems from Ch.8, Exercise 4.

(Note: I will be using ">" to represent the horseshoe, "@" to represent the triple-bar, and "//" to represent the conclusion. There is more than one way of correctly proving these conclusions.)

4a)
1) ~B // ~(A • B)
2) ~A v ~B 1 ADD
3) ~(A • B) 2 DEM

4b)
1) ~(A v B) // ~B
2) ~A • ~B 1 DEM
3) ~B 2 SIMP

4c)
1) ~(A > B) // ~B
2) ~(~A v B) 1 CE
3) ~~A • ~B 2 DEM
4) ~B 3 SIMP

4d)
1) ~A
2) ~B // A @ B
3) ~A v B 1 ADD
4) A > B 3 CE
5) ~B v A 2 ADD
6) B > A 5 CE
7) (A > B) • (B > A) 4,6 CONJ
8) A @ B 7 BE

4j)
1) (A v B) > C // A > C
2) ~(A v B) v C 1 CE
3) (~A • ~B) v C 2 DEM
4) (~A v C) • (~B v C) 3 DIST
5) ~A v C 4 SIMP
6) A > C 5 CE

4k)
1) A
2) B // ~(A > ~B)
3) A • B 1,2 CONJ
4) ~~A • B 3 DN
5) ~~A • ~~B 4 DN
6) ~(~A v ~B) 5 DEM
7) ~(A > ~B) 6 CE

4m)
1) A > C // (A • B) > C
2) ~A v C 1 CE
3) ~B v (~A v C) 2 ADD
4) (~B v ~A) v C 3 ASSOC
5) (~A v ~B) v C 4 COMM
6) ~(A • B) v C 5 DEM
7) (A • B) > C 6 CE

4n)
1) ~((A v B) v (C v D)) // ~D
2) ~(A v B) • ~(C v D) 1 DEM
3) ~(C v D) 2 SIMP
4) ~C • ~D 3 DEM
5) ~D 4 SIMP

4o)
1) A
2) ~B // ~(A @ B)
3) A • ~B 1,2 CONJ
4) ~~A • ~B 3 DN
5) ~(~A v B) 4 DEM
6) ~(A > B) 5 CE
7) ~(A > B) v ~(B > A) 6 ADD
8) ~((A > B) • (B > A)) 7 DEM
9) ~(A @ B) 8 BE

4p)
1) A > ~A //~A
2) ~A v ~A 1 CE
3) ~A 2 DUP

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