Answers to the unstarred problems from Ch.8, Exercise 6.

(Note: I will be using ">" to represent the horseshoe, "@" to represent the triple-bar, and "//" to represent the conclusion. There is more than one way of correctly proving these conclusions.)

6a)
1) (~A v ~B) > ~C
2) A > F
3) ~F @ (D • ~E)
4) ~(D > H)
5) E > H // ~C
6) ~( ~D v H) 4 CE
7) ~~D • ~H 6 DEM
8) ~~D 7 SIMP
9) ~H 7 SIMP
10) ~E 5,9 MT
11) (~F > (D • ~E)) • ((D • ~E) > ~F) 3 BE
12) (D • ~E) > ~F 11 SIMP
13) D 8 DN
14) D • ~E 10,13 CONJ
15) ~F 12,14 MP
16) ~A 2,15 MT
17) ~A v ~B 16 ADD
18) ~C 1,17 MP

6b)
1) ~(A v (B > T))
2) (A • C) v (W > ~D)
3) ~(P v T) > D
4) ~P @ ~(T • S) // ~W
5) ~A • ~(B > T) 1 DEM
6) ~A 5 SIMP
7) ~(B > T) 5 SIMP
8) ~(~B v T) 7 CE
9) ~~B • ~T 8 DEM
10) ~~B 9 SIMP
11) ~T 9 SIMP
12) (~P > ~(T • S)) • (~(T • S) > ~P) 4 BE
13) ~(T • S) > ~P 12 SIMP
14) ~T v ~S 11 ADD
15) ~(T • S) 14 DEM
16) ~P 13,15 MP
17) ~P • ~T 11,16 CONJ
18) ~(P v T) 17 DEM
19) D 3,18 MP
20) ~A v ~C 6 ADD
21) ~(A • C) 20 DEM
22) W > ~D 2,21 DS
23) ~~D 19 DN
24) ~W 22,23 MT

6e)
1) ~(B • (H v J))
2) (A v C) @ (B v D)
3) ~(A > D)
4) (B • F) > J // ~F
5) ~(~A v D) 3 CE
6) ~~A • ~D 5 DEM
7) ~~A 6 SIMP
8) ~D 6 SIMP
9) ((A v C) > (B v D)) • ((B v D) > (A v C)) 2 BE
10) (A v C) > (B v D) 9 SIMP
11) A 7 DN
12) A v C 11 ADD
13) B v D 10,12 MP
14) B 8,13 DS
15) ~B v ~(H v J) 1 DEM
16) ~~B 14 DN
17) ~(H v J) 15,16 DS
18) ~H • ~J 17 DEM
19) ~J 18 SIMP
20) ~(B • F) 4,19 MT
21) ~B v ~F 20 DEM
22) ~F 16, 21 DS

6f)
1) ~P @ ~(Q > R)
2) ~(P v (S > T))
3) Z > W
4) ~(R v T) > ~(S • W) // ~Z
5) ~P • ~(S > T) 2 DEM
6) ~P 5 SIMP
7) ~(S > T) 5 SIMP
8) ~(~S v T) 7 CE
9) ~~S • ~T 8 DEM
10) ~~S 9 SIMP
11) ~T 9 SIMP
12) (~P > ~(Q > R)) • (~(Q > R) > ~P) 1 BE
13) ~P > ~(Q > R) 12 SIMP
14) ~(Q > R) 6,13 MP
15) ~(~Q v R) 14 CE
16) ~~Q • ~R 15 DEM
17) ~~Q 16 SIMP
18) ~R 16 SIMP
19) ~R • ~T 11,18 CONJ
20) ~(R v T) 19 DEM
21) ~(S • W) 4,20 MP
22) ~S v ~W 21 DEM
23) ~W 10,22 DS

6g)
1) (A v F) > ~(B • ~G)
2) ~(B > G)
3) ~S > (~T > A)
4) T > F // ~(S > ~ B)
5) ~(~B v G) 2 CE
6) ~~B • ~G 5 DEM
7) B • ~G 6 DN
8) ~~(B • ~G) 7 DN
9) ~(A v F) 1,8 MT
10) ~A • ~F 9 DEM
11) ~A 10 SIMP
12) ~F 10 SIMP
13) ~T 4,12 MT
14) ~T • ~A 10,13 CONJ
15) ~(T v A) 14 DEM
16) ~(~~T v A) 15 DN
17) ~(~T > A) 16 CE
18) ~~S 3,17 MT
19) B 7 SIMP
20) ~~S • B 18,19 CONJ
21) ~~S • ~~B 20 DN
22) ~(~S v ~B) 21 DEM
23) ~(S > ~B) 22 CE

6h)
1) (A > B) > ~(C > D)
2) ~(A v F) // ~(D v F)
3) ~A • ~F 2 DEM
4) ~A 3 SIMP
5) ~A v B 4 ADD
6) A > B 5 CE
7) ~(C > D) 1,6 MP
8) ~(~C v D) 7 CE
9) ~~C • ~D 8 DEM
10) ~D 9 SIMP
11) ~F 3 SIMP
12) ~D • ~F 10,11 CONJ
13) ~(D v F) 12 DEM

6i)
1) ~B > ~(S • T)
2) ~S @ (P v O)
3) ~(P v (~T v O))
4) ~A > P // A • B
5) ~P • ~(~T v O) 3 DEM
6) ~P 5 SIMP
7) ~(~T v O) 5 SIMP
8) ~~T • ~O 7 DEM
9) ~~T 8 SIMP
10) ~O 8 SIMP
11) ~P • ~O 6,10 CONJ
12) ~(P v O) 11 DEM
13) (~S > (P v O)) • ((P v O) > ~S) 2 BE
14) ~S > (P v O) 13 SIMP
15) ~~S 12,14 MT
16) S 15 DN
17) T 9 DN
18) S • T 16,17 CONJ
19) ~~(S • T) 18 DN
20) ~~B 1,19 MT
21) B 20 DN
22) ~~A 4,6 MT
23) A 22 DN
24) A • B 21,23 CONJ

6j)
1) F > (~G > ~F)
2) ~(H > G)
3) ~(H • W)
4) A > (S • W) // ~(A v F)
5) ~(~H v G) 2 CE
6) ~~H • ~G 5 DEM
7) ~~H 6 SIMP
8) ~G 6 SIMP
9) ~H v ~W 3 DEM
10) ~W 7,9 DS
11) ~S v ~W 10 ADD
12) ~(S • W) 11 DEM
13) ~A 4,12 MT
14) (F • ~G) > ~F 1 EXP
15) (~G • F) > ~F 14 COMM
16) ~G > (F > ~F) 15 EXP
17) F > ~F 8,16 MP
18) ~F v ~F 17 CE
19) ~F 18 DUP
20) ~A • ~F 13,19 CONJ
21) ~(A v F) 20 DEM

6k)
1) P @ ~Q
2) Q > R
3) T @ ~(Q • ~R)
4) ~(T v W) v ~Q // P
5) (P > ~Q) • (~Q > P) 1 BE
6) ~Q > P 5 SIMP
7) (T > ~(Q • ~R)) • (~(Q • ~R) > T) 3 BE
8) ~(Q • ~R) > T 7 SIMP
9) ~Q v R 2 CE
10) ~Q v ~~R 9 DN
11) ~(Q • ~R) 10 DEM
12) T 8,11 MP
13) T v W 12 ADD
14) ~~(T v W) 13 DN
15) ~Q 4,14 DS
16) P 6,15 MP

6l)
1) P v Q
2) Q > R
3) R > (S > ~T)
4) (~S > U) • ( U> V) // (~P • ~V) > ~T
5) ~S > U 4 SIMP
6) U > V 4 SIMP
7) ~S > V 5,6 HS
8) ~~P v Q 1 DN
9) ~P > Q 8 CE
10) ~P > R 2,9 HS
11) ~P > (S > ~T) 3,10 HS
12) (~P • S) > ~T 11 EXP
13) (S • ~P) > ~T 12 COMM
14) S > (~P > ~T) 13 EXP
15) ~V > ~~S 7 CONTRA
16) ~V > S 15 DN
17) ~V > (~P > ~T) 14,16 HS
18) (~V • ~P) > ~T 17 EXP
19) (~P • ~V) > ~T 18 COMM

6m)
1) G > (H • I)
2) J > (H • K)
3) ((L > ~G) • M) > N
4) (M > N) > (L • J) // I v K
5) (L > ~G) > (M > N) 3 EXP
6) (L > ~G) > (L • J) 4,5 HS
7) (~L v ~G) > (L • J) 6 CE
8) ~(~L v ~G) v (L • J) 7 CE
9) (~~L • ~~G) v (L • J) 8 DEM
10) (L • ~~G) v (L • J) 9 DN
11) (L • G) v (L • J) 10 DN
12) L • (G v J) 11 DIST
13) G v J 12 SIMP
14) (H • I) v (H • K) 1,2,13 DIL
15) H • (I v K) 14 DIST
16) I v K 15 SIMP

6n)
1) (P • S) > (T v W)
2) ~T @ ~(M • O)
3) ~(W v (~S v M))
4) ~A > P // A
5) ~W • ~(~S v M) 3 DEM
6) ~W 5 SIMP
7) ~(~S v M) 5 SIMP
8) ~~S • ~M 7 DEM
9) ~~S 8 SIMP
10) ~M 8 SIMP
11) ~M v ~O 10 ADD
12) ~(M • O) 11 DEM
13) (~T > ~(M • O)) • (~(M • O) > ~T) 2 BE
14) ~(M • O) > ~T 13 SIMP
15) ~T 12,14 MP
16) ~T • ~W 6,15 CONJ
17) ~(T v W) 16 DEM
18) ~(P • S) 1,17 MT
19) ~P v ~S 18 DEM
20) ~P 9,19 DS
21) ~~A 4,20 MT
22) A 21 DN

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